Dernière lettre d’Évariste Galois

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Il se trouvera, j’espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

Mathématicien prodige et fervent rebelle républicain, Évariste Galois a eu une vie fort courte. Le jeune homme trouve en effet la mort dans un duel galant, à l’âge de vingt ans, le 31 mai 1831. La veille, il écrivait sa dernière lettre à son ami Auguste Chevalier. Dans celle-ci, Évariste Galois fait part de ses dernières trouvailles mathématiques, sans les expliciter. Pourtant, ses intuitions géniales vont révolutionner la théorie des équations et serviront de base à l’algèbre moderne. Plus tard, la pensée de Galois se montera féconde pour les travaux de Félix Klein ou encore d’Alexandre Grothendieck. Retour sur une lettre mythique et un testament visionnaire, dont les passages techniques (dont nous ne conservons ici qu’un extrait) sont exprimés en toutes lettres… Même les plus réfractaires aux équations conviendront de l’utilité du formalisme mathématique !

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Paris, le 29 mai 1832

Mon cher Ami,

J’ai fait en analyse plusieurs choses nouvelles. Les unes concernent la théorie des Équations, les autres les fonctions Intégrales. Dans la théorie des équations, j’ai recherché dans quels cas les équations étaient résolubles par des radicaux : ce qui m’a donné occasion d’approfondir cette théorie, et de décrire toutes les transformations possibles sur une équation lors même qu’elle n’est pas soluble par radicaux. On pourra faire avec tout cela trois mémoires. Le premier est écrit, et malgré ce qu’en a dit Poisson, je le maintiens avec les corrections que j’y ai faites. Le second contient des applications assez curieuses de la théorie des équations. Voici le résumé des choses les plus importantes :

1. D’après les propositions II et III du 1er Mémoire, on voit une grande différence entre adjoindre à une équation une des racines d’une équation auxiliaire, ou les adjoindre toutes.

Dans les deux cas le groupe de l’équation se partage par l’adjonction en groupes tels que l’on passe de l’un à l’autre par une même substitution. Mais la condition que ces groupes aient les mêmes substitutions n’a lieu certainement que dans le second cas. Cela s’appelle la décomposition propre. En d’autres termes, quand un groupe G en contient un autre H le groupe G peut se partager en groupes que l’on obtient chacun en opérant sur les permutations de H une même substitution, en sorte G=H+HS+HS′+⋯ et aussi il peut se décomposer en groupes qui ont tous les mêmes substitutions en sorte que G=H+TH+T′H+⋯ Ces deux genres de décomposition ne coïncident pas ordinairement. Quand elles coïncident, la décomposition est dite propre. Il est aisé de voir que quand le groupe d’une équation n’est susceptible d’aucune décomposition propre, on aura beau transformer cette équation, les groupes des équations transformées auront toujours le même nombre de permutations. Au contraire, quand le groupe d’une équation est susceptible d’une décomposition propre en sorte qu’il se partage en M groupes de N permutations, on pourra résoudre l’équation donnée au moyen de deux équations : l’une aura un groupe de M permutations, l’autre un de N permutations. Lors donc qu’on aura épuisé sur le groupe d’une équation tout ce qu’il y a de décompositions propres possibles sur ce groupe, on arrive à des groupes qu’on pourra transformer, mais dont les permutations seront toujours en même nombre. Si ces groupes ont chacun un nombre premier de permutations, l’équation sera soluble par radicaux. Sinon, non. Le plus petit nombre de permutations que puisse avoir un groupe indécomposable quand ce nombre n’est pas premier est 5⋅4⋅3.

2. Les décompositions les plus simples sont celles qui ont lieu par la Méthode de M. Gauss. Comme ces décompositions sont évidentes même dans la forme actuelle du groupe de l’équation, il est inutile de s’arrêter longtemps sur cet objet. Quelles décompositions sont praticables sur une équation qui ne se simplifie pas par la méthode de M. Gauss ? J’ai appelé primitives les équations qui ne peuvent pas se simplifier par la méthode de M. Gauss : non que ces équations soient réellement indécomposables, puisqu’elles peuvent même se résoudre par radicaux. Comme lemme à la théorie des équations primitives solubles par radicaux, j’ai mis en juin 1830 dans le bulletin férussac, une analyse sur les imaginaires de la théorie des nombres. On trouvera ci-jointe la démonstration des théorèmes suivants.

1. Pour qu’une équation primitive soit soluble par radicaux, elle doit être du degré p, p étant premier.

2. Toutes les permutations d’une pareille équation sont de la forme xk,l,m…xak+bl+cm+⋯+f,a1k+b1l+c1m+⋯+g,…,…

[…]

Le troisième mémoire concerne les intégrales. On sait qu’une somme de termes d’une même fonction elliptique se réduit toujours à un seul terme, plus des quantités algébriques ou logarithmiques. Il n’y a pas d’autres fonctions pour lesquelles cette propriété ait lieu. Mais des propriétés absolument semblables y suppléent dans toutes les intégrales de fonctions algébriques. On traite à la fois toutes les intégrales dont la différentielle est une fonction de la variable et d’une même fonction irrationnelle de la variable, que cette irrationnelle soit ou ne soit pas un radical, qu’elle s’exprime ou ne s’exprime pas par des radicaux. On trouve que le nombre des périodes distinctes de l’intégrale la plus générale relative à une irrationnelle donnée est toujours un nombre pair.

[…]

Tu sais, mon cher Auguste, que ces sujets ne sont pas les seuls que j’aie explorés. Mes principales méditations depuis quelque temps étaient dirigées sur l’application à l’analyse transcendante de la théorie de l’ambiguïté. Il s’agissait de voir a priori dans une relation entre des quantités ou fonctions transcendantes quels échanges on pouvait faire, quelles quantités on pouvait substituer aux quantités données sans que la relation pût cesser d’avoir lieu. Cela fait reconnaître tout de suite l’impossibilité de beaucoup d’expressions que l’on pourrait chercher. Mais je n’ai pas le temps et mes idées ne sont pas encore bien développées sur ce terrain qui est immense. Tu feras imprimer cette lettre dans la Revue Encyclopédique. Je me suis souvent hasardé dans ma vie à avancer des propositions dont je n’étais pas sûr. Mais tout ce que j’ai écrit là est depuis bientôt un an dans ma tête, et il est trop de mon intérêt de ne pas me tromper pour qu’on me soupçonne d’avoir énoncé des théorèmes dont je n’aurais pas la démonstration complète. Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis non sur la vérité, mais sur l’importance des théorèmes. Après cela il se trouvera, j’espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

Je t’embrasse avec effusion.

E. Galois

( https://fr.wikipedia.org/wiki/Lettre_testamentaire_d'Évariste_Galois ) - (Source image : Portrait d’Évariste Galois à l'âge de 15 ans par sa sœur)
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